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1、当外力作用在静止质量为m0的自由质点上时，质点每经历位移ds，其动能的增量是dEk=F·ds，如果外力与位移同方向，则上式成为dEk=Fds，设外力作用于质点的时间为dt，则质点在外力冲量Fdt作用下，其动量增量是dp=Fdt，考虑到v=ds/dt，有上两式相除，即得质点的速度表达式为v=dEk/dp，亦即 dEk=vd(mv)=V^2dm+mvdv，把爱因斯坦的质量随物体速度改变的那个公式平方，得m^2(c^2-v^2)=m02c^2,对它微分求出：mvdv=(c^2-v^2)dm，代入上式得dEk=c^2dm。
2、上式说明，当质点的速度v增大时，其质量m和动能Ek都在增加，质量的增量dm和动能的增量dEk之间始终保持dEk=c^2dm所示的量值上的正比关系。
3、当v=0时，质量m=m0，动能Ek=0，据此，将上式积分，即得∫Ek0dEk=∫m0m c^2dm（从m0积到m）Ek=mc^2-m0c^2 上式是相对论中的动能表达式。
4、爱因斯坦在这里引入了经典力学中从未有过的独特见解，他把m0c^2叫做物体的静止能量，把mc^2叫做运动时的能量，我们分别用E0和E表示：E=mc^2 , E0=m0c^2用微积分来推导是: 质量（m）和能量（E）的转换关系 E=m*c~2的推导：（~代表后面的几次方、△代表变化量） m=m0/(1-v~2/c~2)~(1/2) 因为v/c->0 有(1-v~2/c~2)等价1-(v~2/c~2)*(1/2) m0=m*[1-(v~2/c~2)*(1/2)] m0=m-m*(v~2/c~2)*(1/2) m-m0=m*(v~2/c~2)*(1/2) △m=m*(v~2/c~2)*(1/2) △m*c~2=(1/2)*m*(v~2)=E E=△m*c~2，这是在初速度为0的情况下的推导，在初速度不为0的情况下推导。
5、得到 △m*c~2=E’- E=△E =>E=Mc~2 还有用微积分的另一种推导方法： m=m./sqrt(1-v。
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